这是我的毕业论文的题目，不过我的野心当然不止局限于此。但我打算把一些非常初等且非常基本的东西写出来。我的导师给了我好几本不错的教材，然而我偷偷找到了一本远比那些都更简单的小书，由佐藤肇所写的『リー代数入門』，而这基本上是本文的内容。除此以外，还有一些我的设想和工作计划。由于我希望写的非常随意，所以我将这个内容放在《下书》之中。

李代数

我们在这里所说的李代数，指的主要是 complex 的李代数，并且我们几乎只关心其中半单的部分。为了方便起见，此后李代数即指 complex 李代数，在某一节之后，即指 semisimple 的部分。

由于 Ado 定理的良好保障，我们可以直接谈论李代数的某种表示，也就是说，我们可以直接拿容易操作的矩阵来书写李代数。因此，李代数被定义为这样一种东西：复数域上的一个矩阵构成的线性空间，配上所谓李括号，即$[X,Y]=XY-YX，$ 这就构成一个代数。如果对代数的定义尚不清晰，那么只需理解为是一个线性空间结构和一个环结构通过共享加法来相容运算。

最直接的李代数是所谓的 $\mathfrak{gl}(m)$，也就是所有 $m$ 阶矩阵组成一个李代数。也有一个非常自然的子代数作为李代数，$\mathfrak{sl}(m)$，它是特殊线性群构成的。相对不那么自然的有 $\mathfrak{sp}$ 和 $\mathfrak{so}$ 之类的，但我想到必要的时候再做介绍。

伴随表示与 Killing 形式

考虑一个李代数，其上当然有形如 $[X,Y]$ 的计算，假如我们使 $Y$ 使可变的，那么 $[X,-]$ 就成为一个线性算子，其线性性毋需多证。这就提供了一种把元素转换成一个线性算子的方案，我们把这个转换记成 $\mathrm{ad}X=[X,-]$。可以看到的是，具体的转换出的矩阵，其实依赖于这个算子作用在哪个代数上。

我想可以举一个例子来体会一下这个伴随表示。我们可以在 $\mathfrak{gl}(2)$ 中考虑矩阵 $\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}$，让它作用在另一个任意的矩阵 $\begin{bmatrix}p&q\\ m&n\end{bmatrix}$ 上，那么就有，

$$\begin{aligned} &\quad \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q\\ m & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & q\\ m & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \\[10pt] &= \begin{bmatrix} ap+bm & aq+bn\\ cp+dm & cq+dn \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ap+cq & bp+dq\\ am+cn & bm+dn \end{bmatrix} \\[10pt] &= \begin{bmatrix} bm-cq & (a-d)q+bn-bp\\ (d-a)m+cp-cn & cq-bm \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

而通过选取恰当的基，把被操作的后一个矩阵写成列向量的形式，我们就可以把作为伴随表示的前一个矩阵写成一个四阶矩阵，

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} 0 & -c & b & 0 \\ -b & a-d & 0 & b \\ c & 0 & d-a & -c \\ 0 & c & -b & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p\\ q\\ m\\ n \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} bm-cq\\ (a-d)q+bn-bp\\ (d-a)m+cp-cn\\ cq-bm \end{bmatrix}. \end{align*}$$

最左侧的那个方阵就是我们所要的那个矩阵。

值得一提的是，这里的“$\mathrm{ad}$”所指的伴随（adjoint），既无关于伴随矩阵，也无关于伴随算子，实际上，在李代数的上下文里还有一个伴随，写成 $\mathrm{Ad}$，指的也是某种把元素算子化的操作，不过是变成相似矩阵的形式。因此，数学上大概有四个完全无关的伴随，诚然令人发指——数学界需要一个秦始皇。

之所以要引入这个操作——在不计动机的前提下——是为了引出所谓的 Killing 形式，where the word Killing is the name of a mathematician，而不是一个形容词。形式，不是指所谓 canonical form 的 form，也就是说这个引入的对象不是某一种矩阵。形式指的是“双线性形式”的“形式”，我想如果有更熟悉李代数的历史动机的读者，可以想到所谓的“辛形式”这样的东西。

所谓的 Killing 形式，指的是这样一个双线性函数 $\mathrm{B}(-,-)$——据说这里的符号来自 Bilinear 的首字母，我也是对数学家的随意有点服气了——填入某两个李代数中的元素，定义为这两个元素在这个李代数下的伴随表示的矩阵的乘积的 trace. 形式化地说，也就是 $\mathrm{B}(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ\mathrm{ad}Y)$.

我们仍然延续上述的例子，计算 $\mathfrak{gl}(2)$ 中两个元素的 Killing 形式. 他们的矩阵已经非常清楚了，分别是

$$\begin{bmatrix} 0 & -c & b & 0 \\ -b & a-d & 0 & b \\ c & 0 & d-a & -c \\ 0 & c & -b & 0 \end{bmatrix} \text{,} \begin{bmatrix} 0 & -m & q & 0 \\ -q & p-n & 0 & q \\ m & 0 & n-p & -m \\ 0 & m & -q & 0 \end{bmatrix},$$

由于我完全不在意除对角线以外的其它结果，因此我们只需要选取对应行进行相乘，结果如下

$$\begin{bmatrix} cq + bm & & & \\ & bm + (a-d)(p-n) + bm & & \\ & & cq + (d-a)(n-p) + cq & \\ & & & cq + bm \end{bmatrix}，$$

将对角线加起来，也就是求迹，结果是

$$\begin{aligned} \text{迹} &= (cq + bm) \\ &\quad + \bigl[bm + (a-d)(p-n) + bm\bigr] \\ &\quad + \bigl[cq + (d-a)(n-p) + cq\bigr] \\ &\quad + (cq + bm)\\ &=2ap+2nd-2an-2dp+4cq+4bm. \end{aligned}$$

这实打实的不是什么很优雅的结果，不过鉴于其可操作性，我们应该容忍这种繁琐。我在这里似乎是计算错过那么一次，不过如上的结果应该无误，我想读者应该对我报以充分的信任，嘻嘻。

很容易想到的是，当矩阵的阶数增长之时，计算这个东西的难度会水涨船高。由于我没有什么自虐倾向，因此我也不打算给出一个例子了，尤其考虑到 $\LaTeX$ 是在不是什么善茬。不过数学家们倒是给出了一些非常好的结果，比如在 $\mathfrak{gl}(m)$ 中，$\mathrm{B}(X,Y)=2m\mathrm{tr}(XY)-2Tr(X)Tr(Y)$. 但这些的证明无外乎一些运算和技术，我自然在此略过。

半单代数与 Cartan 子代数

现在稍微讲一下半单代数的定义，原因在于这是我们的研究对象。一般的定义当然是从模的角度来定义，但在这里我们可以相当任性地定义为：キリング形式が非退化なリー代数。

具体的说，我们可以给一个李代数找到一组基：$v_1,\cdots,v_n$，因为李代数首先是作为一个线性空间而存在的。这样，我们就可以构筑一个矩阵，其 $i,j$ 元是 $\mathrm{B}(v_i,v_j)$，如果这个矩阵的行列式是 0，我们就说这个 Killing 形式是一个退化的形式，反之，我们就说它非退化。我暂时还没办法很直观地给出 Killing 形式的意义，也就是说，我很难或概念化的使之显然，或给出一个几何直观。不过至少，我们想找的就是这样的李代数。

为了研究半单李代数， 要引入カルタン部分代数这个概念。如果我们给定一个半单李代数，选取它的一个部分代数，如果满足以下条件，我们就成为一个 Cartan 部分代数：

1. 任意其中的元素的伴随表示在这个部分代数下的矩阵，都是可对角化的，
2. 这个子代数是所有这样的子代数中最大的。

Root，Root System 与 Root 分解

下面就可以定义一下 Root 的概念，这是专门定义在 Cartan 子代数上的。具体地说，给定一个李代数，考虑它的嘉当子代数，尝试寻找一个线性泛函把嘉当子代数中的元素变成一个数字，这个数字是子代数元素的伴随表示在原代数上的矩阵的同时特征值，并且共享同一个特征向量。

形式化地说，就是考虑 $\mathfrak{g}$ 的一个 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$，上面的函数 $\alpha$ 使得

$\mathrm{ad}(H)X=\alpha(H)X,$

其中 $H\in\mathfrak{h},X\in\mathfrak{g}$.

尽管乍一看这个定义的要求相当高，但实际上，在 Cartan 子代数上，相对于原代数，它们总是可以同时对角化，因此这样的根总是存在的。而且，由于 $\mathfrak{h}$ 有一个可交换的性质，那么就知道 $0$ 总是这样的一个根。我想读者很容易建立这样的直观：$\mathfrak{g}$ 是一个 $n$ 维空间，$\mathfrak{h}$ 是它的一个 $m$ 维子空间，$\mathrm{ad}(H)$ 作为矩阵，就基本是秩为 $n-m$ 的，在最好的情况下，每个矩阵都有 $n-m+1$ 个特征值，其中一个是 $0$.

我们把所有非零的 Root 放在一起，用 $\Delta$ 来记这个。这个东西就叫 root 系。实际上，根据这个系，我们就可以对 $\mathfrak{g}$ 按照特征空间来做分解，我想这个在上述的直观里就已经非常清楚了。我们把 root $\alpha$ 对应的特征空间记成 $\mathfrak{g}_\alpha$，那么这个分解就总是可以写成：

$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}g_\alpha.$

我来给大家算一个例子看看好了。主要是书上有，我跟着算了一下，不算白不算，写出来看看。

读者想必还记得 $\mathfrak{sl}(m)$ 是所谓的一般线性群构成的李代数。昨天晚上睡觉的时候，Elie Cartan 托梦给我说: The Cartan subalgebra of this lie group is $\begin{bmatrix}h_1 & &\\ & \ddots&\\&& h_m \end{bmatrix}$，其中 $h_m=-\Sigma_{i=1}^{m-1} h_i$. 我一听，虽然也不知道有没有道理，所以姑且就那么相信了。然后我算了一下 $\mathrm{ad}H$ 的矩阵，发现形式如此美妙：

$$\begin{align*} \begin{bmatrix}h_1-h_1\\&h_1-h_2\\&&\ddots\\&&& h_1-h_m\\&&&&h_2-h_1\\&&&&&\ddots\\&&&&&&h_m-h_{m-1}\end{bmatrix} \end{align*}.$$

这里面一共是 $m^2-1$ 项，原因是一般线性群的对角项加起来是 $0$，所以它的秩就那么大，因此热衷找规律的读者一定很不爽，因为最后就那么缺了一个 $h_m-h_m$. 这个时候，如果我们把嘉当部分代数里的，对角线上第 $k$ 个元取出来，也就是定义 $\lambda_i(H)=h_i$. 那么我们就可以轻而易举地构造 $\alpha_{ij}(H)=h_i-h_j$. 那么这就构成一个根系，其中有一些是 $0$，基本上就是当 $i=j$ 的 situation. 把非零的放在一起，就是 root system.

罗列：Root 的性质

Root 有一些非常有趣的性质。下面不加证明地罗列出来，我希望借此先培养一种对于这些东西的基本直觉，把更具体的证明和推理，在未来足够系统、也更加直观的研究中再进行。

我暂时还不知道给定 root $\alpha$ 以后，$\mathfrak{g}_\alpha$ 叫啥，所以我给他取一个根空间的名称吧。实际上，针对任意的线性泛函，都可以定义类似于根空间的东西，我们叫它权空间，当这个线性泛函是根的时候，这个权空间就是根空间，而当它不是根的时候，这个权空间就是零空间。

一个最基本的事实是，如果选取 $X\in\mathfrak{g}_\alpha,Y\in\mathfrak{g}_\beta$，那么就有 $[X,Y]\in\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$.

另一个性质则把 root 和先前定义的 Killing form联系起来，当 $\alpha+\beta\not=0$ 的时候，我们就会发现任意的 $X\in\mathfrak{g}_\alpha,Y\in\mathfrak{g}_\beta$，都有 $\mathrm{B}(X,Y)=0$. 我想读者可以把这个 Killing form理解为某种类似于正交的东西.

接下来的命题刻画了 root system 的性质：如果 $\alpha\in\Delta$, then $-\alpha\in\Delta$. 而具体的计算上，给定 $H_1,H_2\in\mathfrak{h}$，有

$\mathrm{B}(H_1,H_2)=\sum_{\alpha\in\Delta}\mathrm{dim}g_\alpha\alpha(H_1)\alpha(H_2).$

此外，$\Delta$ 可以张成（有点搞笑的是，我的毕业论文的指导老师叫张成）整个 Cartan 子代数的对偶空间. 也就是说，$\mathrm{Span}\Delta=\mathfrak{h}^*$.

还有一个性质是，在子代数上，Killing form 同样是非退化的。

实际上，对于 $\gamma\in\Delta$, 总是存在一个 $t_\gamma$，使得选取 $H\in\mathfrak{h}$，总有

$\gamma(H)=\mathrm{B}(t_\gamma,H).$

我们管这里的 $t_\gamma$ 叫做一个 coroot，这就进一步导出一个coroot系。有 coroot 以后，我们可以得到一个公式：$[X,Y]=\mathrm{B}(X,Y)t_\gamma$.

有点绕的是，我们可以反过来再把定义 root 上的一个双线性函数：

$\mathrm{B}^*(\alpha,\beta)=\mathrm{B}(t_\alpha,t_\beta).$

并且得到如下四个定理：

1. 给定 $\alpha,\beta$ 以后，$\frac{\mathrm{B}^*(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}^*(\alpha,\alpha)}$ 总是 rational。
2. 对于 nonzero 的根 $\alpha$，$\dim \alpha =1$，并且，如果选取一个 $k\in\mathbb{Z}$ 有 $k\alpha\in\Delta$，那么就总是可以推出 $k= \pm1$.
3. 对于两个相异的 root $\alpha,\beta$， 和一个满足 $-q\le k\le p$ 的整数 $k$，总是可以调整 $p,q$为整数，有 $\beta+k\alpha$ is a root, while $\beta-(q+1)\alpha$ and $\beta+(p+1)\alpha$ are not root. At this time, we have $q-p=\frac{2\mathrm{B}^*(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}^*(\alpha,\alpha)}$. We call $q-p$ a Cartan integer.
4. For two different root $\alpha,\beta$, consider all the integers $k$ such that $\beta+k\alpha$ is a root. Let $p$ be the biggest of them, and $-q$ be the smallest of them. Now, for every $-q\le k\le p$, $\beta+k\alpha$ is always a root.

3 和 4 两个定理，和 $\mathfrak{sl}(2)$ 高度相关，但暂且不在此处细说。实际上，$\mathfrak{sl}(2)$ 总是出现，并且它是高度重要的，因为它是最小的半单李代数。

试算：Coroot

下面，我们来具体的计算一下 $\mathfrak{sl}(2)$ 的对根。我们回忆，这个群有三个根，其中一个是 $0$，也就是 $h_1-h_1$， and another two are $h_1-h_2,h_2-h_1$. Now, choose two matrices $H=\mathrm{diag}(h_1,h_2)$ and $K=\mathrm{diag}(k_1,k_2)$, we have

$$\begin{align*} \mathrm{B}(H,K)&=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}H\circ \mathrm{ad}K)\\ &= \mathrm{tr} \begin{bmatrix} 0\\&h_1-h_2\\&&h_2-h_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\&k_1-k_2\\&&k_2-k_1 \end{bmatrix} \\ &=(h_1-h_2)(k_1-k_2)+(h_2-h_1)(k_2-k_1)\\ &=2h_1k_1+2h_2k_2-2h_1k_2-2h_2k_1 \end{align*}$$

Now, one must recall that both $H$ and $K$ are belongs to $\mathfrak{sl}(2)$, which means the sum of the diagonal is zero! Then, we can take $h_1=-h_2,k_1=-k_2$. Then,

$$\begin{align*} Orig.&=2h_1k_1+2h_2k_2-2h_1k_2-2h_2k_1\\ &=2h_1k_1+2h_2k_2+2h_1k_1+2h_1k_2\\ &=4h_1k_1+4h_2k_2 \end{align*}$$

How awesome the form is! Actually a more general formula exists, given $H,K\in\mathfrak{sl}(m)$, $\mathrm{B}(H,K)=2m\sum_{i=1}^mh_ik_i$.

Now, we find the coroot of $\alpha_{ii},\alpha_{ij},\alpha_{ji}$, by letting $K$ varies in the Cartan subalgebra, then they are $t(\alpha_{ii})=\begin{bmatrix}0\\&0\end{bmatrix},t(\alpha_{ij})=\begin{bmatrix}\frac{1}{4}\\&-\frac{1}{4}\end{bmatrix},t(\alpha_{ji})=\begin{bmatrix}-\frac{1}{4}\\&\frac{1}{4}\end{bmatrix}$.

根的基本系与图形

我们把这样的东西 $\Pi$ 叫做 root 系统 $\Delta$ 的一个基本系：

1. If $\Pi$ is a basis of $\mathfrak{h}^*$. (This is justified because $\Delta$ is always a basis.)
2. For all root $\alpha$，假如可以写成一个基本系的一个整数组合，即 $\alpha=\sum_i^lk_i\alpha_i$ where $k_i\in\mathbb{Z},\alpha_i\in\Pi$, 那么这些整数系数就总是同号的，也就是要么全部大于 0，要么全部小于 0.

这里面涉及到很多和整数、整除相关的问题，我想从上文的叙述就很容易感受到这一点，我 literally 很讨厌这种东西，所以我会在这里暂时省略这种论述。这个东西似乎可以从一个更系统的角度来论述，有关反射、Coxeter 群，以及一些乱七八糟的其他东西。但我还没有学会，所以我也还不会说这些。

我们可以定义所谓的实 Cartan 子代数：$\mathfrak{h}_\mathbb{R}:=\mathrm{span}\{t(\alpha);\alpha\in\Delta\}$. 在这个空间上再取对偶得到 $\mathfrak{h}_\mathbb{R}^*$，这是所有根实际生活的空间，它是 $\mathfrak{h}^*$ 的一个字空间。在这上面，如果我们定义

$$(\alpha,\beta)=-B^*(\alpha,\beta).$$

我们就会惊讶地发现，这竟然成为一个内积。我们可以因此定义根的长度，即 $\|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$.

现在，取一个基本系 $\Pi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_l\}$，回顾先前 Cartan Integer 的定义，我们可以写

$$c_{ij}=\frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)}.$$

在基本系上，经过我非常厌恶的一些证明，可以知道 $c_{ij}$ 只能是 $0,-1,-2,-3$.

在这里可以构造 Cartan 矩阵，经过复杂的证明，会发现 Cartan 矩阵几乎只有几种形式，而这就构成复半单李代数的一个分类。而我们可以采用一个更简单的表示方法，对基本系进行研究，这就是所谓的 Dynkin 图。

我们把基本系中的每一个根写成一个点 $\circ$，在两个根 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ 之间，$c_{ij}c_{ji}$ 总是在 $0,1,2,3$ 之间选取。这时，在对应的点之间画 $0,1,2,3$ 条线. 同时，根据 $\|\alpha_i\|$ 和 $\|\alpha_j\|$ 的大小关系，在线之间画一个箭头，从大的指向小的。

Dynkin 图实际上只有几种，而这就构成了对根系的一个分类，进而就构成了对李代数的一个分类。

我不想在这里证明这一点，因为我正在寻求一个更系统的概念结构。我本想再做一个计算来总结本文的，不过尝试了几个矩阵，要么太过 trivial，要么太过繁琐，所以就算了吧。